第0081章 黎曼猜想

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第0081章 黎曼猜想

第0081章 黎曼猜想

尤拉乘積公式的推導過程，大學課本里還是有的，但又有多少人會自己推導一遍呢？

將公式直接拿來用就完事了！

經過田立心連比帶畫地將這個公式推導了一遍，許多人都豁然開朗了。

但還有不少人根本就不知道，這個公式的意義在哪？

尤拉乘積公式的意義在於，對全體質數的某些運算可以轉移成對全體自然數的運算。這麼一來，透過研究對自然數的求和Σnn-s，就有可能對質數獲得更深刻的認識。

這個求和是非常重要的，所以它有一個專門的名稱，——黎曼ζ函式。

這個函式明明是尤拉先提出來的，為什麼會叫黎曼ζ函式呢？

田立心並立即給出答案，而是提出新的問題，“我們來到第二個部分，我來先問幾個問題，兩個自然數互質的概率是多少？什麼是互質？n個自然數互質有沒有通項公式呢？”

“自然數互質，意思就是它們沒有共同的質因數，它們的最大公約數是1。例如2和3互質，2和15互質，但15和21不互質，因為15和21都以3作為質因數。由此得知，任意兩個不同的質數是互質的，一個質數和一個不以它作為質因數的合數是互質的，1和任意自然數都是互質的。”田立心解釋了互質的概念後，便利用尤拉乘積公式寫下了兩個自然數互質的數學表示方法，並一步步計算了下去。

計算的結果顯示，得到n個自然數互質的概率正好等於所有自然數的倒數之和，這個數也稱為調和級數——也就是1/ζ(s)。

特別說明，這個函式中的s是大於1的。

也就是說，隨著s趨於無窮大，ζ(s)=Σnn-s當中只有第一項1不受影響，後面的項都迅速地趨近於0，所以ζ(s)會趨近於1。相應的，s個自然數互質的概率會趨近於100%。

要是s=1呢？

ζ(1)等於無窮大！

也就是說，調和級數是發散的！

但在這個推導過程中，是包含一個前提的，——就是ζ(s)是一個有限值，或者說ζ(s)是收斂的。

只有在這個前提之下，才能將它當成一個正常的數進行各種操作，例如乘以1- f(2)，消去所有包含2n的項。

假如ζ(s)是發散的，這樣的操作就是毫無意義的，這會帶來各種各樣的錯誤結果。

被人調侃的全體自然數之和等於-1/12，便是這樣計算出來的錯誤之一。

那麼，全體自然數之和等於-1/12，又是怎麼被人證明出來的呢？

這就要說到黎曼了。

黎曼是德國著名的數學家，數學王子高斯的弟子。

黎曼在二十八歲時發表了題為《論作為幾何學基礎的假設》的演說，就此創立了黎曼幾何學。他將曲面本身看成一個獨立的幾何實體，而不是把它僅僅看作歐幾里得空間中的一個幾何實體，後來，愛因斯坦也是運用黎曼幾何和張量分析工具，才創立了新的引力理論——廣義相對論。

全體自然數之和等於-1/12，就是黎曼在運用尤拉乘積公式中偶然得到的副產品。

正是在這個錯誤的結果的啟迪之下，黎曼對尤拉乘積公式的運用提出了四條脈絡。

一，應該把ζ(s)中的自變數s理解為複數，而不只是實數。

二，可以透過解析延拓，讓ζ(s)在s < 1的地方也獲得定義。

三，透過對ζ(s)的研究，可以對小於等於某個數的質數的個數，給出一個明確的表示式，在這個表示式中唯一未知的就是ζ(s)的零點的位置。

四，黎曼猜測ζ(s)的零點都位於某些地方。

由此可見，黎曼在尤拉ζ函式上的研究上，顯然是比尤拉更進一步的。

他在加入解析延拓之後，使得ζ(s)在s < 1的地方獲得了定義。

由此，尤拉ζ函式也就升級成了黎曼ζ函式。