鬼谷子算的幾種解法
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鬼谷子算的幾種解法
作品相關鬼谷子算的幾種解法有書友在留言區要求老夏貼出“鬼谷子算”的解法。
老夏就蒐羅幾種解法貼出來，和書友共享解題思路1：假設數為X,Y;和為X+Y=A,積為X*Y=B.根據龐第一次所說的：“我肯定你也不知道這兩個數是什麼”。
由此知道，X+Y不是兩個素數之和。
那麼A的可能11,17,23,27,29,35,37,41,47,51,53,57,59,5,7,71,77,79,83,87,89,95,97.我們再計算一下B的可能值：和是11能得到的積:18,24,28,30和是17能得到的積:30,42,52,0,,70,72和是23能得到的積:42,0和是27能得到的積:50,72和是29能得到的積:和是35能得到的積:和是37能得到的積:70我們可以得出可能的B為，當然了，有些數（30=5*=2*15）出現不止一次。
這時候，孫依據自己的數比較計算後，“我現在能夠確定這兩個數字了。”
我們依據這句話，和我們算出來的B的集合，我們又可以把計算出來的B的集合刪除一些重複數。
和是11能得到的積:18,24,28和是17能得到的積:52和是23能得到的積:42,7和是27能得到的積:50,92和是29能得到的積:54,78和是35能得到的積:9,124和是37能得到的積:,因為龐說：“既然你這麼說，我現在也知道這兩個數字是什麼了。”
那麼由和得出的積也必須是唯一的，由上面知道只有一行是剩下一個數的，那就是和17積52。
那麼X和Y分別是4和13。
解題思路2：說話依次編號為S1，P1，S2。
設這兩個數為x，y，和為s，積為p。
由S1，P不知道這兩個數，所以s不可能是兩個質數相加得來的，而且s＜＝41，因為如果s＞41，那麼P拿到41×（s－41）必定可以猜出s了（關於這一點，參考老馬的證明，這一點很巧妙，可以省不少事情）。
所以和s為{11，17，23，27，29，35，37，41}之一，設這個集合為A。
1).假設和是11。
11＝2＋9＝3＋8＝4＋7＝5＋，如果P拿到18，18＝3×＝2×9，只有2＋9落在集合A中，所以P可以說出P1，但是這時候S能不能說出S2呢？我們來看，如果P拿到24，24＝×4＝3×8＝2×12，P同樣可以說P1，因為至少有兩種情況P都可以說出P1，所以A就無法斷言S2，所以和不是11。
2).假設和是17。
17＝2＋15＝3＋14＝4＋13＝5＋12＝＋11＝7＋10＝8＋9，很明顯，由於P拿到4×13可以斷言P1，而其他情況，P都無法斷言P1，所以和是17。
3).假設和是23。
23＝2＋21＝3＋20＝4＋19＝5＋18＝＋17＝7＋1＝8＋15＝9＋14＝10＋13＝11＋12，咱們先考慮含有2的n次冪或者含有大質數的那些組，如果P拿到4×19或7×1都可以斷言P1，所以和不是23。
4).假設和是27。
如果P拿到8×19或4×23都可以斷言P1，所以和不是27。
5).假設和是29。
如果P拿到13×1或7×22都可以斷言P1，所以和不是29。
).假設和是35。
如果P拿到1×19或4×31都可以斷言P1，所以和不是35。
7).假設和是37。
如果P拿到8×29或11×2都可以斷言P1，所以和不是37。
8).假設和是41。
如果B拿到4×37或8×33，都可以斷言P1，所以和不是41。
綜上所述：這兩個數是4和13。
解題思路3：孫龐猜數的手算推理解法1)按照龐的第一句話的後半部分，我們肯定龐知道的和S肯定不會大於54。
因為如果和54恰好是53和a，那麼孫知道的積M就是M=53*a，於是孫知道，這原來兩個數中至少有一個含有53這個因子，因為53是個素數。
可是小於100，又有53這個因子的，只能是53本身，所以孫就可以只憑這個積53*a推斷出這兩個數術53和a。
所以如果龐知道的S大於54的話，他就不敢排除兩個數是53和a這種可能，也就不敢貿然說“但是我肯定你也不知道這兩個數是什麼”這種話。
如果53+99如果S=98+99，那麼龐可以立刻判斷出，這兩個數只能是98和99，而且M只能是98*99，孫也可以知道這兩個術，所以顯然不可能。
2)按照龐的第一句話的後半部分，我們還可以肯定龐知道的和S不可以表示為兩個素數的和。
否則的話，如果鬼谷子選的兩個數字恰好就是這兩個素數，那麼孫知道積M後，就可以得到唯一的素因子分解，判斷出結果。
於是龐還是不敢說“但是我肯定你也不知道這兩個數是什麼”這種話。
根據哥德巴赫猜想，任何大於4的偶數都可以表示為兩個素數之和，對54以下的偶數，猜想肯定被驗證過，所以S一定不能是偶數。
另外型為S=2+p的奇數，其中p是奇素數的那些S也同樣要排除掉。
還有S=51也要排除掉，因為51=17+2*17。
如果鬼谷子選的是(17,2*17)，那麼孫知道的將是M=2*17*17，他對鬼谷子原來的兩數的猜想只能是(17,2*17)。
（為什麼51要單獨拿出來，要看下面的推理）3)於是我們得到S必須在以下數中：11172327293537414753另外一方面，只要龐的S在上面這些數中，他就可以說“但是我肯定你也不知道這兩個數是什麼”，因為這些數無論怎麼拆成兩數和，都至少有一個數是合數（必是一偶一奇，如果偶的那個大於2，它就是合數，如果偶的那個等於2，我們上面的步驟已經保證奇的那個是合數），也就是S只能拆成a)S=2+a*b或b)S=a+2^n*這兩個樣子，其中a和b都是奇數，n=1。
那麼（下面我說的“至少兩組數”中的兩組數都不相同，而且的確存在（也就是那些數都小於100）的理由我就不寫了，根據條件很顯然）a)或者孫的M=2*a*b，孫就會在(2*a,b)和(2,a*b)至少兩組數里拿不定主意（a和b都是奇數，所以這兩組數一定不同）；b)或者M=2^n*a*b，如果n1，那麼孫就會在(2^(n1)*a,2*b)和(2^n*a,b)至少兩組數里拿不定主意；如果n=1，而且a不等於b，那麼孫就會在(2*a,b)和(2b,a)至少兩組數里拿不定主意；如果n=1，而且a等於b，這意味著S=a+2*a=3a，所以S一定是3的倍數，我們只要討論S=27就可以了。
27如果被拆成了S=9+18，那麼孫拿到的M=9*18，他就會在(9，18)和(27,)至少兩組數里拿不定主意。
（上面對51的討論就是從這最後一種情況的討論發現的，我不知道上面的論證是否過分煩瑣了，但是看看51這個“特例”，我懷疑嚴格的論證可能就得這麼煩）現在我們知道，當且僅當龐得到的和數S在C={11,17,23,27,29,35,37,41,47,53}中，他才會說出“我雖然不能確定這兩個數是什麼，但是我肯定你也不知道這兩個數是什麼”這句話孫臏可以和我們得到同樣的結論，他還比我們多知道那個M。
4)孫的話“我現在能夠確定這兩個數字了”表明，他把M分解成素因子後，然後組合成關於鬼谷子的那兩個數的若干個猜想中，有且僅有一個猜想的和在C中。
否則的話，他還是會在多個猜想之間拿不定主意。
龐涓聽了孫的話也可以得到和我們一樣的結論，他還比我們多知道那個S。
5)龐的話“我現在也知道這兩個數字是什麼了”表明，他把S拆成兩數和後，也得到了關於鬼谷子的那兩個數的若干個猜想，但是在所有這些拆法中，只有一種滿足4)裡的條件，否則他不會知道究竟是哪種情況，使得孫臏推斷出那兩個數來。
於是我們可以排除掉C中那些可以用兩種方法表示為S=2^n+p的S，其中n1，p為素數。
因為如果S=2^n1+p1=2^n2+p2，無論是(2^n1,p1)還是(2^n2,p2)這兩種情況，孫臏都可以由M=2^n1*p1或M=2^n2*p2來斷定出正確的結果，因為由M得到的各種兩數組合，只有(2^n,p)這樣的組合，兩數和才是奇數，從而在C中，於是孫臏就可以宣佈自己知道了是怎麼回事，可龐涓卻還得為(2^n1,p1)還是(2^n2,p2)這兩種情況犯愁。
因為11=4+7=8+3，23=4+19=1+7，27=4+23=1+11，35=4+31=1+19，37=8+29=32+5，47=4+43=1+31。
於是S的可能值只能在17294153中。
讓我們繼續縮小這個表。
29不可能，因為29=2+27=4+25。
無論是(2,27)和(4,25)，孫臏都可以正確判斷出來：a)如果是(2,27)，M=2*27=2*3*3*3，那麼孫可以猜的組合是(2,27)(3,18)(,9)，後面兩種對應的S為21和15，都不在C中，故不可能，於是只能是(2,27)。
b)如果是(4,25)，M=4*25=2*2*5*5，那麼孫可以猜的組合是(2,50)(4,25)(5,20)(10,10)。
只有(4,25)的S才在C中。
可是龐涓卻要為孫臏的M到底是2*27還是4*25苦惱。
41不可能，因為41=4+37=10+31。
後面推理略。
53不可能，因為53=+47=1+37。
後面推理略。
研究一下17。
這下我們得考慮所有17的兩數和拆法：(2,15)：那麼M=2*15=2*3*5=*5，而+5=11也在C中，所以一定不是這個M，否則4)的條件不能滿足，孫“我現在能夠確定這兩個數字了”的話說不出來。
(3,14)：那麼M=3*14=2*3*7=2*21，而2+21=23也在C中。
後面推理略。
(4,13)：那麼M=4*13=2*2*13。
那麼孫可以猜的組合是(2,2)(4,13)，只有(4,13)的和在C中，所以這種情況孫臏可以說4)中的話。
(5,12)：那麼M=5*12=2*2*3*5=3*20，而3+20=23也在C中。
後面推理略。
(,11)：那麼M=*11=2*3*11=2*33，而2+33=35也在C中。
後面推理略。
(7,10)：那麼M=7*10=2*5*7=2*35，而2+35=37也在C中。
後面推理略。
(8,9)：那麼M=8*9=2*2*2*3*3=3*24，而3+24=27也在C中。
後面推理略。
於是在S=17時，只有(4,13)這種情況，孫臏才可以猜出那兩數是什麼，既然如此，龐涓就知道這兩個數是什麼，說出“我現在也知道這兩個數字是什麼了”。
聽了龐涓的話，於是我們也知道，這兩數該是(4,13)。
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