243最偉大的數學家
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243最偉大的數學家
劉卷說道：“我們的事情，要你多管什麼？”
小紅說道：“你這樣對我們的小水花，我就要管，小水花是我們的，我們的寶貝，是我們的公主，這麼多年了，我從來沒有看見她對誰這樣，也不知道你這樣的癩蛤蟆那一世修了這樣的福分，我——。”
小水花看了劉卷一眼，說道：‘小紅，我們走吧。“
劉卷不知道說什麼，他看著小水花，突然說道：“小水花，我們要冷靜一下，我——。”
小水花說道：“我知道你的意思，好了，我們現在被人放在一起，我們——。”
劉卷說道：“小水花，我一定會救你的，但是，我們應該好好想一想，不錯，你很美麗，但是，美麗不一定就是愛，我這話你明白的。我——。”
小水花說道：“好了，你不要說了，我知道你的意思，現在我們共同度過難關，別的事情就不說了。”
劉卷說道：’我不是這個意思，你怎麼就不明白，我，我，我……。”
小水花說道：“我明白你的意思，你是不是討厭我們那樣的生活，感覺那樣活著就是一個假人，可是這樣的生活對我們來說它就是真實的。”
劉卷沒有再說什麼，他也沒有什麼好說的了，他看著小水花的背影慢慢走遠了，可是他還是不知道怎樣辦。
窮人有窮人的生活，富人有富人的生活，但是劉卷喜歡窮人的生活，因為在他看來窮人的生活才是真實的，而富人的生活是那樣的做作，那樣的虛假。
下午他將精力放在那幾道算學題上，可是他一道題也沒有解出，直到17：00曾教授過來，看到劉卷竟然接了一道題，不由高興的叫到：“天才，真是天才。”
劉卷奇怪的看著曾教授，曾教授高興的流出了眼淚，他說道：“劉卷啊，你不知道這是世界上很多數學家也解不了的題目。”
原來劉卷的第一題是： 從任意一個正整數開始，重複對其進行下面的操作：如果這個數是偶數，把它除以 2 ；如果這個數是奇數，則把它擴大到原來的 3 倍後再加 1 。序列是否最終總會變成 4， 2， 1， 4， 2， 1， … 的迴圈？
這個問題可以說是一個“坑”——乍看之下，問題非常簡單，突破口很多，於是數學家們紛紛往裡面跳；殊不知進去容易出去難，不少數學家到死都沒把這個問題搞出來。已經中招的數學家不計其數，這可以從+ 1 問題的各種別名看出來：+ 1 問題又叫 collatz 猜想、 syracuse 問題、 kakutani 問題、 hasse 演算法、 ulam 問題等等。後來，由於命名爭議太大，乾脆讓誰都不沾光，直接叫做+ 1 問題算了。
+ 1 問題不是一般的困難。這裡舉一個例子來說明數列收斂有多麼沒規律。從開始算起，步就掉入了“421 陷阱”：
……。
但是，從開始算起，數字會一路飆升到幾千多，你很可能會一度認為它脫離了“421 陷阱”；但是，經過上百步運算後，它還是跌了回來：
……。
劉卷第二個問題是：
隨機串的最長公共子序列
如果從數字序列 a 中刪除一些數字就能得到數字序列 b ，我們就說 b 是 a 的子序列。例如， 110 是 010010 的子序列，但不是 001011 的子序列。兩個序列的“公共子序列”有很多，其中最長的那個就叫做“最長公共子序列”。
隨機產生兩個長度為 n 的序列，其中數字 1 出現的概率是 p ，數字 0 出現的概率是 1 - p 。用 cp(n) 來表示它們的最長公共子序列的長度，用來表示 cp(n) / n 的極限值。
關於的存在性，有一個非常巧妙的證明；然而，這個證明僅僅說明了的存在性，它完全沒有給計算帶來任何有用的提示。
即使是 c1/2 的值，也沒人能成功算出來。 michael steele 猜想 c1/2 = 2/(1 + √2) ≈ 0。828427 。後來， v。 chvátal 和 d。 sankoff 證明了 ……，看上去 michael steele 的猜想似乎很可能是對的。 2003 年， gee lueker 證明了 0。7880
更糟的是，“當 p 為 1/2 時達到最小”似乎是一件很靠譜的事，但這個結論也無人能證明。
劉卷第三個問題是：曲線的內接正方形
證明或推翻，在平面中的任意一條簡單封閉曲線上，總能找到四個點，它們恰能組成一個正方形。
這樣一個看上去如此基本的問題，竟然沒有被解決！這個 blog 上曾經證明過，任意凸多邊形上總存在四個可以構成正方形的點；對證明方法進行改進，可以把結論擴充套件到凹多邊形上。目前，對於充分光滑的曲線，似乎已經有了肯定的結論；但對於任意曲線來說，這仍然是一個懸而未解的問題。平面上的曲線無奇不有，說不準我們真能精心構造出一種不滿足要求的怪異曲線。
劉卷的第四個問題是：環形跑道難題
有一個環形跑道，總長為 1 個單位。n 個人從跑道上的同一位置出發，沿著跑道順時針一直跑下去。每個人的速度都是固定的，但不同人的速度不同。證明或推翻，對於每一個人，總會有一個時刻，他與其他所有人的距離都大於 1/n 。
乍看上去，這個問題無異於其它各種非常巧妙的初等組合數學問題，但不可思議的是，這個問題竟然直到現在仍沒解決。目前最好的結果是，當 n ≤ 6 時，結論是成立的。直覺上，對於更大的 n ，結論也應該成立，不過尚未有人證明。
劉卷的第五個問題是：排序問題加強版
有 n 個盒子，從左至右依次編號為 1， 2， …， n 。第 1 個盒子裡放兩個編號為 n 的小球，第 2 個盒子裡放兩個編號為 n - 1的小球，以此類推，第 n 個盒子裡放兩個編號為 1 的小球。每一次，你可以在相鄰兩個盒子中各取一個小球，交換它們的位置。為了把所有小球放進正確的盒子裡，最少需要幾次交換？
為了說明這個問題背後的陷阱，我們不妨先拿 n = 5 的情況做個例子。首先，如果每個盒子裡只有一個球，問題就變成了經典的排序問題了：只能交換相鄰元素，如何最快地把 5， 4， 3， 2， 1 變成 1， 2， 3， 4， 5 ？如果一個數列中前面的某個數反而比後面的某個數大，我們就說這兩個數是一個“逆序對”。顯然，初始情況下所有數對都是逆序對，n = 5 時逆序對共有個。我們的目的就是要把這個數目減少到 0 。而交換兩個相鄰的數只能消除一個逆序對，因此次交換是必需的。
不過，題目裡面每個盒子裡有兩個球，那麼是不是必須要交換次才行呢？錯！下面這種做法可以奇蹟般地在步之內完成排序：
……。
第一次看上去似乎很不可思議，但細想一下還是能想明白的：同一個盒子裡能夠放兩個數，確實多了很多新的可能。如果左邊盒子裡的某個數比右邊某個盒子裡的數大，我們就說這兩個數構成一個逆序對；但如果兩個不同的數在同一個盒子裡，我們就把它們視作半個逆序對。現在讓我們來看看，一次交換最多能消除多少個逆序對。假設某一步交換把 ab，變成了 ac，，最好的情況就是這個逆序對徹底消除了，同時、兩個逆序對消除了一半，、兩個（已經消除了一半的）逆序對也消除了一半，因此一次交換最多可以消除 3 個逆序對。由於一開始每個盒子裡的兩個相同的數都會在中間的某個時刻分開來，最後又會合並在一起，因此我們可以把初始時兩個相同的數也當作一個逆序對。這樣的話，初始時每兩個數都是逆序對， n 個盒子裡將產生 c(2n， 2)個逆序對。自然，我們至少需要 c(2n， 2) / 3 步才能完成排序。當 n = 5 時， c(2n， 2) / 3 =，這就說明了上面給出的 n = 5 的排序方案是最優的。
這個分析太巧妙了，實在是讓人拍案叫絕。就只可惜，這個下界並不是總能達到的。當 n = 6 時，上述分析得出的下界是步，但計算機窮舉發現沒有步交換是不行的。於是，這個問題又變成了一個誘人的坑，至今仍未被填上。
劉卷第六個問題是 thrackle 猜想：
如果一個圖中，每條邊都與其它所有邊相交恰好一次（頂點處相接也算相交），這個圖就叫做一個 thrackle 。問，是否存在邊數大於頂點數的 thrackle 圖？
曾教授抹去淚水，說道：“好了，孩子，你回去吧，這些數學題你慢慢的去解。”
劉卷不知道曾教授為什麼那樣激動，他收拾好東西，說道：“曾教授，那我回去了。”
曾教授看著劉卷漸漸遠去的背影，不由說道：“我們中國又將出現一位最偉大的數學家了。”